分数计算的底层逻辑
分数本质上是一个还没算完的除法：3/4 就是 3 ÷ 4。其余一切规则都从这句话推出来。加减法的前提是「每一份大小相同」，所以要先通分、再合并分子、最后约分；乘除法完全不需要通分——分子乘分子、分母乘分母，除法把第二个分数取倒数再相乘。
加减法：先通分，用最小公倍数
以 1/3 + 1/6 为例。分母 3 和 6 的最小公倍数是 6，于是 1/3 上下同乘 2 变成 2/6（分子分母同乘同一个数，分数的值不变）。接着 2/6 + 1/6 = 3/6；分子分母的最大公约数是 3，约分后得到 1/2。最常见的错误是把分母也相加——1/3 + 1/6 绝不是 2/9。想象一块蛋糕：三分之一再加六分之一，是半块，不可能是九分之二。
乘法与除法
- 乘法：分子乘分子、分母乘分母，最后约分。2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5。
- 除法：把除数取倒数再相乘。1/3 ÷ 1/6 = 1/3 × 6/1 = 2。道理值得记住：除法问的是「第二个分数能装进第一个几次」，六分之一正好能装进三分之一两次。
- 先约分再乘，数字更小：算 4/9 × 3/8 时，先把 4 和 8、3 和 9 交叉约掉，原本的 12/72 直接变成 1/6，不用做大数乘法。
带分数、假分数与小数
带分数 2 3/4 就是 11/4（2 × 4 + 3 作分子，分母不变）。做乘除法前先化成假分数，算完再用一次除法加余数换回带分数。任何分数都能化成小数：分子除以分母即可。有的除法能除尽（1/4 = 0.25，3/8 = 0.375），有的永远除不完，结果里括号包住的就是循环节：1/3 = 0.(3)，1/6 = 0.1(6)，1/7 = 0.(142857)。百分比只是分母为 100 的分数，所以 1/3 = 33.33%。比较两个分数完全不需要小数——交叉相乘比乘积就行：2/3 与 3/5 相比是 10 对 9，所以 2/3 更大。
生活里的分数
最常遇到的是配方：1/2 杯加 1/3 杯是 5/6 杯；3/4 茶匙翻倍是 1 1/2 茶匙；把配方减半时，奇数个三分之一会逼着你换算成六分之一。卷尺和英制尺寸本身就是分数：刻度是 1/2、1/4、1/8、1/16，量两段长度相加就是分母不同的分数相加。折扣和赔率也是分数——「三分之一 off」并不等于 33% off（实际是 33.3%），赔率 3:1 表示三次机会对一次。作业里更是如此：写出通分步骤比只给答案得分更多，所以这个计算器会把过程一并列出来。
常见问题解答
分母不同的分数怎么相加？
先通分：把两个分数都化成分母的最小公倍数，再合并分子、最后约分。1/3 + 1/6 变成 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2。切记分母不能直接相加，1/3 + 1/6 是 1/2，不是 2/9。
分数除法怎么算？
把第二个分数取倒数再相乘：1/2 ÷ 1/4 = 1/2 × 4/1 = 2。理解方式：除法问的是「第二个分数能装进第一个几次」，四分之一能装进二分之一两次。
为什么 1/3 + 1/6 = 1/2？
因为三分之一等于两个六分之一，所以 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6；3 和 6 的最大公约数是 3，上下同除得到 1/2。
怎么约分？
求分子与分母的最大公约数，然后上下同除。18/24 的最大公约数是 6，约分得 3/4；如果最大公约数是 1，说明已经是最简分数。
分数怎么化成小数和百分比？
分子除以分母得到小数（3/8 = 0.375），再乘 100 就是百分比（37.5%）。有些分数除不尽，会出现循环小数：1/3 = 0.(3) = 33.33%，括号里的数字就是循环节。
小数怎么化成分数？
看小数点后有几位，就写成「去掉小数点的整数 ÷ 10 的几次方」，再约分。0.375 = 375/1000 = 3/8；像 2.5 这种可以先拆成 2 + 0.5 = 2 1/2。
不用计算器怎么比较两个分数大小？
交叉相乘：分别算「分子 × 另一个分母」。2/3 和 3/5 相比，2 × 5 = 10、3 × 3 = 9，所以 2/3 更大。也可以化成小数，但交叉相乘不会有精度问题。
什么是带分数？什么时候要化开？
像 2 3/4 这样「整数 + 真分数」的形式叫带分数，它等于假分数 11/4。做乘除法之前先化成假分数，算完再换回带分数更不容易出错。